Question

已知函数f（x）=ln（3+x）+ln（3-x）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的定义域；
（Ⅱ）判断函数y=f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）若f（2m-1）＜f（m），求m的取值范围．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,函数的定义域及其求法,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由

3+x＞0 3-x＞0

，求得x的范围，可得函数y=f（x）定义域．
（Ⅱ）由于函数y=f（x）的定义域关于原点对称．且满足 f（-x）=f（x），可得函数y=f（x）为偶函数．
（Ⅲ）化简函数f（x）的解析式为lg（4-x²），结合函数的单调性可得，不等式f（m-2）＜f（m）等价于|m|＜|m-2|＜2，由此求得m的范围．

解答： 解：（Ⅰ）要使函数有意义，则

3+x＞0 3-x＞0

，解得-3＜x＜3，
故函数y=f（x）定义域为（-3，3）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函数y=f（x）的定义域为（-3，3），关于原点对称．
对任意x∈（-3，3），则-x∈（-3，3），
∵f（-x）=lg（3-x）+lg（3+x）=f（x），
∴由函数奇偶性可知，函数y=f（x）为偶函数．
（Ⅲ）∵函数f（x）=lg（3+x）+lg（3-x）=lg（9-x²），
由复合函数单调性判断法则知，当0≤x＜3时，函数y=f（x）为减函数．
又函数y=f（x）为偶函数，
∴不等式f（2m-1）＜f（m），等价于|m|＜|2m-1|＜3，
解得-1＜m＜

1

3

或1＜m＜2．

点评：本题主要考查求函数的定义域，函数的奇偶性的判断，复合函数的单调性，属于中档题．