题目内容

已知|
a
|=2，|
b
|=1，
a
⊥
b
，若
a
+λ
b
与
a
-λ
b
的夹角θ是某锐角三角形的最大角，且λ＜0，则λ的取值范围是?（　　）
A、-2＜λ＜0
B、λ＜-2
C、-2＜λ≤-
2
3
3
D、-
2
3
3
≤λ＜0
考点：数量积表示两个向量的夹角
专题：不等式的解法及应用,平面向量及应用
分析：根据题意，得出
a
+λ
b
与
a
-λ
b
夹角θ的取值范围，即得cosθ的取值范围；由向量的数量积求出λ的取值范围．
解答： 解：∵|
a
|=2，|
b
|=1，
a
⊥
b
，
∴
a
•
b
=0；
又∵
a
+λ
b
与
a
-λ
b
的夹角θ是某锐角三角形的最大角，
∴θ∈[
π
3
，
π
2
）；
∴cosθ∈（0，
1
2
]；
又∵cosθ=
(
a
+λ
b
)•(
a
-λ
b
)
|
a
+λ
b
|×|
a
-λ
b
|
=
a
2-λ2
b
2
(
a
+λ
b
)2
(
a
-λ
b
)2
=
a
2-λ2
b
2
a
2+λ2
b
2
=
4-λ2
4+λ2
，
∴0＜
4-λ2
4+λ2
≤
1
2
；
即
4-λ2
4+λ2
＞0
4-λ2
4+λ2
≤
1
2
，
解得-2＜λ≤-
2
3
3
，或
2
3
3
≤λ＜2；
又∵λ＜0，
∴λ的取值范围是-2＜λ≤-
2
3
3
．
故选：C．
点评：本题考查了平面向量的数量积的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题和一定的计算能力，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
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a
n
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．
函数f（x）=ax2-2x-9在x=1处取得极值，则实数a=
 
．
过直线x+y-2
2
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A、（0，2
2
）
B、（2
2
，0）
C、（
2
，
2
）
D、（
3
2
2
，
2
2
）或（
2
2
，
3
2
2
）
直线y=-
1
m
x-
6
m
和直线y=
2-m
3
x-
2m
3
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A、-1或3B、-1
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A、a＞bB、a＜b
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把函数y=
3
cosx-sinx的图象向右平移a个单位，所得图象关于y轴对称，则a的最大负值是（　　）
A、-
π
6
B、-
π
3
C、-
2π
3
D、-
5π
6
曲线x2+y2=|x|+|y|所围成的面积为（　　）
A、
π
2
+1
B、π+2
C、2π+1
D、均不对

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