Question

11．设函数f（x）=$\frac{a}{3}$x³+cx（a，c∈R，a≠0）．若a=-3，函数y=f（x）在[-2，2]的值域为[-2，2]，求函数y=f（x）的零点．

Answer 1

分析 根据条件结合函数的值域先求出c的值，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性建立条件关系即可得到结论．

解答 解：若a=-3，则f（x）=-x³+cx，
函数的导数f′（x）=-3x²+c，
①若c≤0，则f′（x）≤0，此时函数在[-2，2]为减函数，
∵y=f（x）在[-2，2]的值域为[-2，2]，
∴f（2）=-2³+2c=2，
即2c-8=2，则2c=10，c=5，不满足条件c≤0．
②若c＞0，则$f'（x）=0⇒x=±\sqrt{\frac{c}{3}}$
（ⅰ）若$\sqrt{\frac{c}{3}}＞2$，即c＞12时，函数f（x）在[-2，2]上单调递增，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（2）=2\\ f（-2）=-2\end{array}\right.$，此方程组无解；     
（ⅱ）$\sqrt{\frac{c}{3}}≤2≤2\sqrt{\frac{c}{3}}$时，即3≤c≤12时，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（\sqrt{\frac{c}{3}}）=2\\ f（-\sqrt{\frac{c}{3}}）=-2\end{array}\right.$，即c=3；）
（ⅲ）$2＞2\sqrt{\frac{c}{3}}$时，即c＜3时，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（2）=-2\\ f（-2）=2\end{array}\right.$，此方程组无解．
综上可得c=3，
∴f（x）=-x³+3x的零点为：${x_1}=0，{x_2}=-\sqrt{3}，{x_3}=\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查函数零点的求解，求函数的导数，判断函数的单调性，利用函数单调性和值域之间的关系建立条件关系是解决本题的关键．