Question

3．求值：
（1）sin²20°+cos²50°+sin20°cos50°；
（2）log₂cos$\frac{π}{9}$+log₂cos$\frac{2π}{9}$+log₂cos$\frac{4π}{9}$．

Answer 1

分析 （1）先根据二倍角公式降幂，再由积化和差公式、和和差化积化简即可得到答案．
（2）利用二倍角公式求出cos$\frac{π}{9}$•cos$\frac{2π}{9}$•cos$\frac{4π}{9}$=$\frac{1}{8}$，然后利用对数的运算求出结果．

解答 解：（1）sin²20°+cos²50°+sin20°cos50°=$\frac{1}{2}$（1-cos40°）+$\frac{1}{2}$（1+cos100°）+sin20°cos50°
=1+$\frac{1}{2}$（cos100°-cos40°）+$\frac{1}{2}$（sin70°-sin30°）=$\frac{3}{4}$+$\frac{1}{2}$×（-2）sin70°sin30°+$\frac{1}{2}$sin70°
=$\frac{3}{4}$，
（2）cos$\frac{π}{9}$•cos$\frac{2π}{9}$•cos$\frac{4π}{9}$=$\frac{1}{sin\frac{π}{9}}$•sin$\frac{π}{9}$•cos$\frac{π}{9}$•cos$\frac{2π}{9}$•cos$\frac{4π}{9}$
=$\frac{1}{sin\frac{π}{9}}$•$\frac{1}{2}$sin$\frac{2π}{9}$•cos$\frac{2π}{9}$•cos$\frac{4π}{9}$=$\frac{1}{sin\frac{π}{9}}$•$\frac{1}{4}$sin$\frac{4π}{9}$•cos$\frac{4π}{9}$=$\frac{1}{sin\frac{π}{9}}$•$\frac{1}{8}$•sin$\frac{8π}{9}$=$\frac{1}{8}$
∴log₂cos$\frac{π}{9}$+log₂cos$\frac{2π}{9}$+log₂cos$\frac{4π}{9}$=log₂（cos$\frac{π}{9}$•cos$\frac{2π}{9}$•cos$\frac{4π}{9}$）=log₂$\frac{1}{8}$=-3．

点评 本题主要考查二倍角公式、积化和差公式、和和差化积公式的应用，属于基础题．