Question

△ABC中，已知tanC=

5

2

．
（1）sin²

A+B

2

的值；
（2）若AB=2

5

，AC=6，D为AC的中点，求BD的长．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由同角三角函数基本关系可得

sin2C+cos2C=1 tanC= sinC cosC = 5 2

结合cosC＞0，解方程组可得cosC，由二倍角公式可得sin²

A+B

2

=

1-cos(A+B)

2

=

1+cosC

2

，代入计算可得；（2）由余弦定理可得AB²=AC²+BC²-2AC•BCcosC，代入数值可解得BC，在△BCD中由余弦定理可得所求．

解答： 解：（1）∵tanC=

5

2

，且0＜C＜π，∴cosC＞0
由同角三角函数基本关系可得

sin2C+cos2C=1 tanC= sinC cosC = 5 2

，
解方程组可得cosC=

2

3

，
∴sin²

A+B

2

=

1-cos(A+B)

2

=

1+cosC

2

=

5

6

（2）由余弦定理可得AB²=AC²+BC²-2AC•BCcosC，
代入数值可得（2

5

）²=6²+BC²-2×6×

2

3

BC，解得BC=4，
在△BCD中由余弦定理可得BD²=CD²+BC²-2CD•BCcosC
=3²+4²-2×3×4×

2

3

=9，∴BD=3

点评：本题考查解三角形，涉及余弦定理和同角三角函数的基本关系，属中档题．