Question

14．已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，若任意的x，y∈R，不等式f（x²-6x+26）+f（y²-8y-5）＜0恒成立，则当x＞3时，x²+y²的取值范围是（　　）

• A． （9，49）
• B． （13，49]
• C． （13，45）
• D． （13，49）

Answer 1

分析 根据条件得到f（x）是奇函数，然后结合函数奇偶性和单调性的性质将不等式恒成立进行转化，作出对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可．

解答 解：∵函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，
∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数f（x）是奇函数，
∵任意的x，y∈R，不等式f（x²-6x+26）+f（y²-8y-5）＜0恒成立，
则任意的x，y∈R，不等式f（x²-6x+26）＜-f（y²-8y-5）=f[-（y²-8y-5）]恒成立，
则x²-6x+26＜-（y²-8y-5），
即任意的x，y∈R，不等式x²-6x+26+y²-8y-5＜0恒成立，
即（x-3）²+（y-4）²＜4，
当x＞3时，作出对应的平面区域如图，
则x²+y²的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，
由图象得过圆心C，与圆相交的点D，到原点距离最大，
OB的距离最小，
∵圆心C（3，4），半径R=2，
∴B（3，2），A（3，6），
则OC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，则OD=5+2=7，
则最大值为OD²=49，
最小值为3²+2²=9+4=13，但此时最大值和最小值取不到，
即x²+y²的范围是（13，49）．
故选：D

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及线性规划的应用，根据不等式恒成立结合函数奇偶性的性质将不等式进行转化以及利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．