Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆的方程．
（2）设P为椭圆上一点，若过点M（2，0）的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T，且满足

OS

+

OT

=t

OP

（O为坐标原点），求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）写出满足条件的圆的方程，再由直线与圆相切得到d=a，再由等腰直角三角形得到b=c，解方程即可得到a，b的值；
（2）设P（x₀，y₀），设出直线l：y=k（x-2），联立椭圆方程消去y，得到x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量加法运算得到x₀，y₀的关系，代入椭圆方程，结合判别式大于0，即可得到t的范围．

解答： 解：（1）由题意得，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径
的圆的方程为（x-c）²+y²=a²，
∴圆心到直线x+y+1=0的距离d=

|c+1|

2

=a*，
∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
则b=c，a=

2

b=

2

c，代入*式得b=c=1即a=

2

b=

2

，
故所求椭圆方程为

x2

2

+y²=1；
（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x-2），设P（x₀，y₀），
将直线方程代入椭圆方程得：（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
∴△=64k⁴-4（1+2k²）（8k²-2）=-16k²+8＞0
∴k2＜

1

2

，
设S（x₁，y₁），T（x₂，y₂）则x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

，
当k=0时，直线l的方程为y=0，此时t=0，

OS

+

OT

=t

OP

成立，故t=0符合题意．
当t≠0时
得tx₀=x₁+x₂=

8k2

1+2k2

，ty₀=y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4k=

-4k

1+2k2

，
∴x0=

1

t

•

8k2

1+2k2

，y0=

1

t

•

-4k

1+2k2

，
将上式代入椭圆方程得：

32k4

t2(1+2k2)2

+

16k2

t2(1+2k2)2

=1，
整理得：t2=

16k2

1+2k2

由k2＜

1

2

知0＜t²＜4，
所以t∈（-2，2）．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，以及直线与圆相切的条件，考查联立直线方程和椭圆方程消去一个未知数，运用韦达定理，注意判别式大于0的条件，考查运算能力，属于中档题．