Question

已知抛物线y²=2px（p＞0），过点（2，0）作直线与抛物线交于两点，若两点纵坐标之积为-8．
（1）求抛物线的方程；
（2）斜率为1的直线不经过点P（2，2）且与抛物线交于A、B．
①求直线l在y轴上截距b的取值范围；
②若AP、BP分别与抛物线交于另一点C、D，证明：AD、BC交于一定点M．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设直线方程为y=kx-2k，代入抛物线，列出y的方程y²-

2p

k

y-4p=0，利用两点纵坐标之积为-8，求出p，即可求抛物线的方程；
（2）①设直线l的方程为y=x+b（b≠0），将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合方程有两个实根的条件：△＞0，解决问题．
②设A，B坐标分别为为(

m2

4

，m)，(

n2

4

，n)，因为AB斜率为1，得出m，n的关系式，再结合B、P、D共线，利用直线斜纺的关系得直线AD的方程，最后令x=0时，即直线AD与y轴的交点为（0，2），同理可得BC与y轴的交点也为（0，2），从而解决问题．

解答： 解：（1）设直线方程为y=kx-2k，代入抛物线，列出y的方程y²-

2p

k

y-4p=0，
∵两点纵坐标之积为-8
∴-4p=-8，∴p=2
∴抛物线方程为y²=4x；
（2）设直线l的方程为y=x+b（b≠0），由于直线不过点P，因此b≠0
代入抛物线方程得x²+（2b-4）x+b²=0，由△＞0，解得b＜1
所以，直线l在y轴上截距的取值范围是（-∞，0）∪（0，1）
（3）设A，B坐标分别为(

m2

4

，m)，(

n2

4

，n)，因为AB斜率为1，所以m+n=4，
设D点坐标为(

yD2

4

，yD)，因为B、P、D共线，所以k_PB=k_DP，得y_D=

8-2n

2-n

=

2m

m-2

直线AD的方程为y-m=

yD-m

yD2 4 - m2 4

（x-

m2

4

）
当x=0时，y=

myD

yD+m

=2
即直线AD与y轴的交点为（0，2），同理可得BC与y轴的交点也为（0，2），
所以AD，BC交于定点（0，2）．

点评：本小题主要考查抛物线的标准方程、直线的方程、线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想．属于中档题．