Question

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，侧面PAD为正三角形．
（1）AD⊥PB；
（2）若E为PB边的中点，过三点A、D、E的平面交PC于点F，证明：F为PC的中点．

Answer 1

考点：棱锥的结构特征,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取AD的中点M，连PM，BM，只要证明AD⊥平面PBM即可；
（2）充分利用底面是菱形以及E为PB边的中点，利用线面平行的判定和性质，只要得到EF∥BC即可．

解答： 证明：（1）取AD的中点M，连PM，BM，则∵侧面PAD为正三角形，
∴PM⊥AD，
又底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，
∴三角形ABD是等边三角形，
∴AD⊥BM，
∴AD⊥平面PBM，
∴AD⊥PB（7分）；
（2）∵底面ABCD是菱形，
∴AD∥BC，又AD?平面PBC，BC?平面PBC，
∴AD∥平面PBC，
AD?平面ADFE，平面ADFE∩平面PBC=EF，
∴AD∥EF，
∵AD∥BC．
∴BC∥EF，
又E为PB的中点，故F为PC的中点．                                （14分）

点评：本题考查了几何体棱锥中的线面关系；考查了线面平行的判定和性质的运用；熟练掌握线面平行的判定定理和性质定理是解答问题的关键．