Question

设A，B是集合{a₁，a₂，a₃，a₄，a₅}的两个不同子集，
（1）则不同的有序集合对（A，B）的组数为

 

；
（2）若使得A不是B的子集，B也不是A的子集，则不同的有序集合对（A，B）的组数为

 

．

Answer 1

考点：二项式定理的应用,子集与真子集

专题：集合,二项式定理

分析：（1）集合{a₁，a₂，a₃，a₄，a₅}有2⁵个子集，不同的有序集合对（A，B）可分有2⁵（2⁵-1）组．
（2）若A?B，并设B中含有k（1≤k≤5）个元素，则满足A?B的有序集合对（A，B）有

5

k=1

C

k 5

（2^k-1）=3⁵-2⁵．同理，满足B?A的有序集合对（A，B）也有3⁵-2⁵组．即可得出．

解答： 解：（1）∵集合{a₁，a₂，a₃，a₄，a₅}有5个元素，
故集合{a₁，a₂，a₃，a₄，a₅}有2⁵=32个子集，
又∵A，B是集合{a₁，a₂，a₃，a₄，a₅}的两个不同子集，
∴不同的有序集合对（A，B）的组数为

A

2 32

=992，
（2）若A?B，并设B中含有k（1≤k≤5）个元素，则满足A?B的有序集合对（A，B）有

5

k=1

C

k 5

（2^k-1）=

5

k=1

C

k 5

2^k-

5

k=1

C

k 5

=3⁵-2⁵．
同理，满足B?A的有序集合对（A，B）也有3⁵-2⁵组．
∴满足条件的有序集合对（A，B）的组数为992-2（3⁵-2⁵）=570组．
故答案为：992，570

点评：本题考查了集合的子集、有序数对，考查了二项式定理的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．