Question

已知函数f（x）的定义域为R，且对任意x∈R都有f（x）=f（x-1）+f（x+1），若f（-1）=2，f（1）=3则f（2012）+f（-2012）=（　　）

• A、-5
• B、-10
• C、5055
• D、5060

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：由题设条件知，理解对任意正整数x，都有f（x）=f（x-1）+f（x+1）很关键，本题已知自变量±1与±2012差值太大，两函数值之间的关系一般要借助函数的周期性找到关联，考查恒等式，可构造出f（x+1）=f（x）+f（x+2），与f（x）=f（x-1）+f（x+1）联立解出函数的周期，再求函数值

解答： 解：因为f（x）=f（x-1）+f（x+1）
所以f（x+1）=f（x）+f（x+2）
两式相加得0=f（x-1）+f（x+2）
即：f（x+3）=-f（x）
∴f（x+6）=f（x）
f（x）是以6为周期的周期函数，f（-1）=2，f（1）=3
2012=6×335+2，-2012=-6×335-2
∴f（2012）=f（2）=-f（-1）=-2
f（-2012）=f（-2）=-f（1）=-3
∴f（2012）+f（-2012）=--5
故选：A．

点评：本题考查对抽象函数表达式的理解和运用，解题的关键是由恒等变形得出函数的周期，本题的难点观察出解题的方向是研究函数的周期性，此类题有一个明显的特征那就是题设条件中必有恒等式，且要求的函数值自变量与已知函数值的自变量差值较大，不可能通过恒等式变形求出，题后注意总结这一特征，方便以后遇到同类题时能快速想到解题的方法．