Question

已知函数f（x）=

x2

x+1

．
（1）判断函数f（x）在区间[0，+∞）上的单调性，并用定义证明；
（2）解关于x的不等式：f（x）＜a+x（a∈R）．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）按照函数单调性的定义解答；
（2）将f（x）＜a+x（a∈R）化简，讨论两根根的大小，决定不等式的解集．

解答： 解：（1）函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增；
证明如下：
任取0≤x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=

x12

x1+1

-

x22

x2+1

=

(x1-x2)(x1x2+x1+x2)

(x1+1)(x2+1)

，∵x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在[0，+∞）单调递增．
（2）∵

x2

x+1

＜x+a⇒

(a+1)x+a

x+1

＞0
当a=-1时，x＜-1；
当a＞-1时，∵-

a

a+1

-（-1）=

1

a+1

＞0，
∴x＞-

a

a+1

或者x＜-1；
当a＜-1时，-

a

a+1

＜x＜-1．

点评：本题考查了利用函数的单调性定义判断函数的单调性以及讨论思想的运用．