Question

2．在数列{a_n}}中，a₁=3，a_n+1=3a_n ，在数列{b_n}}中，b₁=3，b_n=4b_n+1+3．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足c_n=a_n log₂（b_n +1），其前n项和为T_n ，求T_n ．

Answer 1

分析 （1）通过a₁=3、a_n+1=3a_n 可知数列{a_n}是以首项、公比均为3的等比数列，从而可知a_n=3ⁿ；通过对b_n=4b_n+1+3变形可知b_n+1+1=$\frac{1}{4}$（b_n+1），进而可知数列{b_n+1}是以4为首项、$\frac{1}{4}$为公比的等比数列，计算即得结论；
（2）通过（1）及对数的性质可知c_n=（2n-4）•3ⁿ，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）∵a₁=3，a_n+1=3a_n ，
∴数列{a_n}是以首项、公比均为3的等比数列，
∴a_n=3ⁿ；
∵b_n=4b_n+1+3，
∴b_n+1+1=$\frac{1}{4}$（b_n+1），
又∵b₁+1=3+1=4，
∴数列{b_n+1}是以4为首项、$\frac{1}{4}$为公比的等比数列，
∴b_n+1=$\frac{1}{4}$•4^n-1=4^n-2，
∴b_n=-1+4^n-2；
（2）由（1）可知log₂（b_n +1）=$lo{g}_{2}{4}^{n-2}$=2n-4，
∴c_n=a_n log₂（b_n +1）=（2n-4）•3ⁿ，
∴T_n=-2•3+0•3²+2•3³+…+（2n-4）•3ⁿ，
3T_n=-2•3²+0•3³+2•3⁴+…+（2n-6）•3ⁿ+（2n-4）•3ⁿ⁺¹，
两式相减得：-2T_n=-2•3+2（3²+3³+3⁴+…+3ⁿ）-（2n-4）•3ⁿ⁺¹
=-6+2•$\frac{{3}^{2}（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（2n-4）•3ⁿ⁺¹
=-15-（2n-5）•3ⁿ⁺¹，
∴T_n=$\frac{15}{2}$+$\frac{2n-5}{2}$•3ⁿ⁺¹．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．