Question

10．设有数列a₁，a₂，…a_n，…又若a₁，a₂-a₁，a₃-a₂，…，a_n-a_n-1是首项为1，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列．
（1）求a_n；
（2）求a₁+a₂+…+a_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的求和公式计算即得结论；
（2）通过（1）可知a₁+a₂+…+a_n=$\frac{3}{2}$n-$\frac{1}{2}$•（1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$），利用等比数列的求和公式计算即得结论．

解答 解：（1）依题意，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$
=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{3}^{n-1}}$；
（2）由（1）可知a₁+a₂+…+a_n=$\frac{3}{2}$n-$\frac{1}{2}$•（1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$）
=$\frac{3}{2}$n-$\frac{1}{2}$•$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$
=$\frac{3}{2}$n-$\frac{3}{4}$+$\frac{1}{4}$•$\frac{1}{{3}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．