Question

给出下面的数表序列：

其中表n（n=1，2，3…）有n行，第1行的n个数是1，3，5，…2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．
（Ⅰ）写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将此结论推广到表n（n≥3）（不要求证明）；
（Ⅱ）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12，…，记此数列为{b_n}，求和：

b3

b1b2

+

b4

b2b3

+…+

bn+2

b nbn+1

   （n∈N^*）；
（Ⅲ）已知当n∈N^*，?n≥6，不等式（1-

m

n+3

）＜（

1

2

）^m（其中m=1，2，3，…，n）成立，求出满足等式3ⁿ+4ⁿ+…+（n+2）ⁿ=（n+3）ⁿ的所有正整数n．

Answer 1

考点：数列的求和,进行简单的合情推理

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）根据表1，表2，表3的规律可写出表4，然后求出各行的平均数，可确定等比数列的首项和公比，进而推广到n．
（Ⅱ）先求出表n的首项的平均数，进而可确定它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列，进而得到表中最后一行的数b_n=n•2^n-1，再化简通项

bk+2

bkbk+1

，最后根据裂项法求和．
（Ⅲ）由题意验证n=1，2，3，4，5时等式是否成立，即可求出满足等式3ⁿ+4^m+…+（n+2）^m=（n+3）ⁿ的所有正整数n．

解答： 解 （ I）由题意可得

它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．
将这一结论推广到表n（n≥3），即
表n（n≥3）各行的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．
（ II）表n的第1行是1，3，5，…，2n-1，其平均数是

1+3+…(2n-1)

n

=n，
由（ I）可知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列，于是表n中最后一行的唯一一个数为bn=n•2n-1．
因此

bk+2

bkbk+1

=

(k+2)2k+1

k2k-1•(k+1)2k

=

k+2

k(k+1)2k-2

=

2(k+1)-k

k(k+1)2k-2

=

1

k2k-3

-

1

(k+1)2k-2

，（k=1，2，3，…，n）
故

b3

b1b2

+

b4

b2b3

+…+

bn+2

b nbn+1

=（

1

1×2-2

-

1

2×2-1

）+（

1

2×2-1

-

1

3×20

）+…+（

1

n×2n-3

-

1

(n+1)×2n-2

）
=

1

1×2-2

-

1

(n+1)×2n-2

=4-

1

(n+1)×2n-2

…（9分）
（ III） 当n≥6时，
(1-

1

n+3

)n＜

1

2

，
(1-

2

n+3

)n＜(

1

2

)2，
…
(1-

n

n+3

)n＜(

1

2

)n，
∴(1-

1

n+3

)n+(1-

2

n+3

)n+…+(1-

n

n+3

)n＜

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n=1-

1

2n

＜1，
所以3ⁿ+4ⁿ+…+（n+2）ⁿ＜（n+3）ⁿ，
所以当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n．故只需要讨论n=1，2，3，4，5的情形：
当n=1时，3≠4，等式不成立；
当n=2时，3²+4²=5²，等式成立；
当n=3时，3³+4³+5³=6³，等式成立；
当n=4时，3⁴+4⁴+5⁴+6⁴是偶数，但7⁴是奇数，所以等式不成立；
当n=5时，3⁵+4⁵+5⁵+6⁵+7⁵是奇数，但8⁵是偶数，所以等式不成立；
综上，满足条件的所有正整数为2，3．

点评：本题主要考查数列求和和等比数列的性质．数列求和是高考的必考点，一般有公式法、裂项法、错位相减法等，都要熟练掌握．