Question

设F₁、F₂为椭圆

x2

9

+

y2

4

=1的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F₁、F₂是一个直角三角形的三个顶点，且|PF₁|＞|PF₂|，则

|PF1|

|PF2|

的值为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题设和知PF₂⊥x轴或PF₁⊥PF₂，由此进行分类讨论，利用已知条件结合椭圆的简单性质能求出

|PF1|

|PF2|

的值．

解答： 解：∵F₁、F₂为椭圆

x2

9

+

y2

4

=1的两个焦点，
∴a=3，b=2，c=

9-4

=

5

，
∴F₁（-

5

，0），F₂ （

5

，0）．
当PF₂⊥x轴时，P的横坐标为

5

，其纵坐标为±

4

3

，
∴

|PF1|

|PF2|

=

2a- 4 3

4 3

=

6- 4 3

4 3

=

7

2

．
当PF₁⊥PF₂ 时，设|PF₂|=m，
则|PF₁|=2a-m=6-m，3＞m＞0，由勾股定理可得
4c²=m²+（6-m）²，即  20=2 m²-12 m+36，解得 m=2 或 m=4（舍去），
∴

|PF1|

|PF2|

=

6-2

2

=2．
综上，

|PF1|

|PF2|

的值为

7

2

或2．

点评：本题考查椭圆中两焦半径的比值的求法，是中档题，解题时要注意分类讨论思想的合理运用，要熟练掌握椭圆的简单性质．