Question

5．已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0；
（1）若y=f（x）在$[-\frac{π}{4}，\frac{2π}{3}]$上单调递增，求ω的取值范围；
（2）令ω=4，将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{12}$个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有20个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b-a的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的单调性的性质建立不等式的关系进行求解即可．
（2）根据三角函数的图象关系，求出函数的解析式，利用三角函数的性质进行求解即可．

解答 解：（1）因为ω＞0，根据题意有 $\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{π}{4}ω≥-\frac{π}{2}}\\{\frac{2π}{3}ω≤\frac{π}{2}}\end{array}}\right.⇒0＜ω≤\frac{3}{4}$…．（6分），
（2）f（x）=2sin（4x），$g（x）=2sin（4（x+\frac{π}{12}））+1=2sin（4x+\frac{π}{3}）+1$$g（x）=0⇒sin（4x+\frac{π}{3}）=-\frac{1}{2}⇒x=\frac{1}{2}kπ-\frac{π}{8}$或$x=\frac{1}{2}kπ+\frac{5}{24}π，k∈Z$，
即g（x）的零点相离间隔依次为$\frac{π}{3}$和$\frac{π}{6}$，
故若y=g（x）在[a，b]上至少含有20个零点，则b-a的最小值为$10×\frac{π}{6}+9×\frac{π}{3}=\frac{14π}{3}$…（14分）

点评 本题主要考查三角函数的单调性和函数零点的应用，根据条件建立不等式关系是解决本题的关键．