Question

17．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，M，N分别是B₁C₁，A₁D₁，A₁B₁，BD，B₁C的中点，求证：
（1）MN∥平面CDD₁C₁．
（2）平面EBD∥平面FGA．

Answer 1

分析 （1）连接BC₁，DC₁，由已知推导出MN$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DC₁，由此能证明MN∥平面CDD₁C₁．
（2）连接EF，B₁D₁，推导出四边形ABEF为平行四边形，从而AF∥BE，由题意FG∥BD，由此能证明平面EBD∥平面FGA．

解答 证明：（1）连接BC₁，DC₁，
∵四边形BCC₁B₁为正方形，N为B₁C的中点，
∴N在BC₁上，且N为BC₁的中点．
又∵M为BD的中点，∴MN$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DC₁．
又MN?平面CDD₁C₁，DC₁?平面CDD₁C₁，
∴MN∥平面CDD₁C₁．（6分）
（2）连接EF，B₁D₁，则EF$\underset{∥}{=}$AB．
∴四边形ABEF为平行四边形，∴AF∥BE．
又由题意知FG∥B₁D₁，B₁D₁∥BD，∴FG∥BD．
又∵AF∩FG=F，BE∩BD=B，
∴平面EBD∥平面FGA．（12分）

点评 本题考查线面平行、面面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．