Question

已知函数f（x）=

1-x

ax

+lnx．
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a＞0时，讨论f（x）在(

1

2

，  2)的单调性．

Answer 1

考点：函数的单调性及单调区间,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）f（x）在[1，+∞）上为增函数，等价于

ax-1

ax2

≥0即ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，分离参数后化为函数的最值即可求解；
（Ⅱ）利用导数可判断f（x）在(0，  

1

a

]上是减函数，在[

1

a

，+∞)上是增函数，按照a≥2，0＜a≤

1

2

，

1

2

＜a＜2三种情况进行讨论即可得到结论；

解答： 解：（Ⅰ）由已知得f′(x)=

ax-1

ax2

(a＞0)，
依题意：

ax-1

ax2

≥0对x∈[1，+∞）恒成立，即：ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，
也即：a≥

1

x

对x∈[1，+∞）恒成立，
∴a≥(

1

x

)max=1，即a≥1；
（Ⅱ）∵f′(x)=

ax-1

ax2

，
∴f（x）在定义域（0，+∞）上满足：f（x）在(0，  

1

a

]上是减函数，在[

1

a

，+∞)上是增函数，
1°当a≥2时，（

1

2

，2）⊆[

1

a

，+∞)，∴f（x）在(

1

2

，  2)上是增函数；
2°当0＜a≤

1

2

时，（

1

2

，2）⊆(0，  

1

a

]，∴f（x）在(

1

2

，  2)上是减函数；
3°当

1

2

＜a＜2时，

1

a

∈(

1

2

，  2)，
∴f（x）在(

1

2

， 

1

a

]上是减函数，f（x）在[

1

a

，  2)上是增函数．

点评：该题考查利用导数研究函数的单调性，属中档题，正确理解导数与函数单调性的关系是解决相关问题的关键所在．