Question

设函数f（x）=x²+ax+b，集合A={x|f（x）=x}={a}，求f（x）在[t，t+1]上的最小值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：首先根据题中的已知条件建立方程，A={x|f（x）=x}={a}，说明方程有一根且根为a，进一步确定函数的解析式，求出对称轴的方程，根据二次函数对称轴固定区间不固定进行讨论，进一步求得结果．

解答： 解：函数f（x）=x²+ax+b，集合A={x|f（x）=x}={a}
则：x²+ax+b=x
x²+（a-1）x+b=0
（a-1）²-4b=0 ①
a²+（a-1）a+b=0 ②
由①②可得：9a²-6a+1=0
解得：a=

1

3

  b=

1

9

函数f（x）=x2+

1

3

x+

1

9

=（x+

1

6

）²+

1

12

∴函数为开口方向向上，对称轴方程为：x=-

1

6

①当t≤-

1

6

≤t+1时，即-

7

6

≤t≤-

1

6

 f(x)min=f(-

1

6

)=

1

12

②当-

1

6

＜t时，f(x)min=f(t)=t2+

1

3

t+

1

9

③当t+1＜-

1

6

时，即t＜-

7

6

，f(x)min=f(t+1)=t2+

7

3

t+

13

9

故答案为：①当t≤-

1

6

≤t+1时，即-

7

6

≤t≤-

1

6

 f(x)min=f(-

1

6

)=

1

12

②当-

1

6

＜t时，f(x)min=f(t)=t2+

1

3

t+

1

9

③当t+1＜-

1

6

时，即t＜-

7

6

，f(x)min=f(t+1)=t2+

7

3

t+

13

9

点评：本题考查的知识点：二次函数解析式的求法，二元一次方程有一根的条件，二次函数对称轴固定区间不固定的讨论及相关的运算问题．