Question

19．已知△ABC中，内角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若$\frac{a+b}{c}$=$\frac{sin（A+B）-\sqrt{2}sinB}{sinA-sinB}$．
（1）求角A的大小；
（2）若a=4$\sqrt{2}$，且△ABC的面积为16，求b，c．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简已知条件，然后利用余弦定理求解即可．
（2）利用三角形的面积以及余弦定理列出b，c的方程求解即可．

解答 解：（1）△ABC中，内角A，B，C，的对边分别为a，b，c，
$\frac{a+b}{c}$=$\frac{sin（A+B）-\sqrt{2}sinB}{sinA-sinB}$．
可得：$\frac{a+b}{c}$=$\frac{sin（π-C）-\sqrt{2}sinB}{sinA-sinB}$=$\frac{c-\sqrt{2}b}{a-b}$，
化简得：a²-b²=c²-$\sqrt{2}$bc，
即：a²=b²+c²-$\sqrt{2}$bc，又a²=b²+c²-2bccosA，
∴cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，A=45°．
（2）a=4$\sqrt{2}$，且△ABC的面积为16，
可得b²+c²-$\sqrt{2}$bc=32…①．
$\frac{1}{2}bcsin45°=16$，即bc=32$\sqrt{2}$…②，
解①②可得：b=8，c=4$\sqrt{2}$，或b=4$\sqrt{2}$，c=8．

点评 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查三角形的解法，考查计算能力．