Question

10．已知斜率为-1的直线l与圆C：x²+y²=4交于M，N不同的两点，
（1）求直线l在x轴上的截距的取值范围：
（2）若弦MN的中点为P，点P的轨迹方程为C′，将圆C：x²+y²=4先向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到圆C″，求C′在C″内的长度．

Answer 1

分析 （1）设斜率为-1的直线l的方程为y=-x+b，即x+y-b=0，圆心到直线的距离d=$\frac{|b|}{\sqrt{2}}$＜2，可得直线l在x轴上的截距的取值范围：
（2）若弦MN的中点为P，点P的轨迹C′方程为y=x，求出圆C″：（x-1）²+（y-1）²=4，可得圆心（1，1）在直线y=x上，即可求出C′在C″内的长度．

解答 解：（1）设斜率为-1的直线l的方程为y=-x+b，即x+y-b=0，
圆心到直线的距离d=$\frac{|b|}{\sqrt{2}}$＜2，
∴-2$\sqrt{2}$＜b＜2$\sqrt{2}$；
（2）若弦MN的中点为P，点P的轨迹C′方程为y=x，
将圆C：x²+y²=4先向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到圆C″：（x-1）²+（y-1）²=4，
圆心（1，1）在直线y=x上，
∴C′在C″内的长度为4．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的方程，考查点到直线距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．