Question

9．求函数f（x）=$\frac{1{0}^{x}-1{0}^{-x}}{1{0}^{x}+1{0}^{-x}}$的奇偶性、值域、单调区间．

Answer 1

分析 根据指数函数奇偶性，单调性的性质进行求解即可．用单调性的定义取点，作差，变形，判断来证明即可．把原函数整理成 ${10}^{2x}=\frac{1+y}{1-y}$利用10^2x的范围求值域即可．

解答 解：函数的定义域为（-∞，+∞），
则f（-x）=$\frac{1{0}^{-x}-1{0}^{x}}{1{0}^{-x}+1{0}^{x}}$=-$\frac{1{0}^{x}-1{0}^{-x}}{1{0}^{x}+1{0}^{-x}}$=-f（x），
则函数为奇函数．
$f（x）=\frac{{{{10}^{2x}}-1}}{{{{10}^{2x}}+1}}=1-\frac{2}{{{{10}^{2x}}+1}}$
在（-∞，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＞x₂
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{1{0}^{2{x}_{2}}+1}$-$\frac{2}{1{0}^{2{x}_{1}}+1}$=$\frac{2（1{0}^{2{x}_{1}}-1{0}^{2{x}_{2}}）}{（1{0}^{2{x}_{1}}+1）（1{0}^{2{x}_{2}}+1）}$，
而y=10^x在R上为增函数，
∴${10^{2{x_1}}}＞{10^{2{x_2}}}$，即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在R上为增函数．
由$f（x）=\frac{{{{10}^{2x}}-1}}{{{{10}^{2x}}+1}}=1-\frac{2}{{{{10}^{2x}}+1}}$
得${10^{2x}}=\frac{1+y}{1-y}$，而10^2x＞0，即$\frac{1+y}{1-y}＞0$，
∴-1＜y＜1．
所以f（x）的值域是（-1，1）．

点评 本题综合考查了函数的奇偶性和单调性的证明以及对函数单调性的应用，在用定义证明或判断一个函数在某个区间上的单调性时，基本步骤是取点，作差或作商，变形，判断．