Question

8．已知数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=2a_n+f（n）（n∈N^*）．若f（n）=1，求证：数列{a_n+1}为等比数列；并求出{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 由已知得a_n+1+1=2（a_n+1），由此能证明数列{a_n+1}为首项为4，公比为2的等比数列，从而能求出{a_n}的通项公式．

解答 证明：∵数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=2a_n+f（n）（n∈N^*），f（n）=1，
∴a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又a₁+1=3+1=4，
∴数列{a_n+1}为首项为4，公比为2的等比数列，
∴${a}_{n}+1=4×{2}^{n-1}$=2ⁿ⁺¹，
∴${a}_{n}={2}^{n+1}-1$．

点评 本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．