Question

11．已知各项互异的等比数列{a_n}中，a₁=2，其前n项和为S_n，且a₄+S₄，a₅+S₅，a₆+S₆成等差数列，则a_n=$\frac{1}{{2}^{n-2}}$．

Answer 1

分析 设等比数列{a_n}的公比为q（q≠1），从而可得a₄+S₄=2q³+$\frac{2（1-{q}^{4}）}{1-q}$，a₅+S₅=2q⁴+$\frac{2（1-{q}^{5}）}{1-q}$，a₆+S₆=2q⁵+$\frac{2（1-{q}^{6}）}{1-q}$，结合a₄+S₄，a₅+S₅，a₆+S₆成等差数列化简可得（1-2q）（q-1）²=0，从而解得．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q（q≠1），
a_n=2q^n-1，S_n=$\frac{2（1-{q}^{n}）}{1-q}$，
则a₄+S₄=2q³+$\frac{2（1-{q}^{4}）}{1-q}$，a₅+S₅=2q⁴+$\frac{2（1-{q}^{5}）}{1-q}$，a₆+S₆=2q⁵+$\frac{2（1-{q}^{6}）}{1-q}$，
∵a₄+S₄，a₅+S₅，a₆+S₆成等差数列，
∴2（2q⁴+$\frac{2（1-{q}^{5}）}{1-q}$）=2q³+$\frac{2（1-{q}^{4}）}{1-q}$+2q⁵+$\frac{2（1-{q}^{6}）}{1-q}$，
即2（q⁴-q⁵+1-q⁵）=（q³-q⁴+1-q⁴）+（q⁵-q⁶+1-q⁶），
即（1-2q）（q-1）²=0，
故q=$\frac{1}{2}$，
故a_n=$\frac{1}{{2}^{n-2}}$．
故答案为：$\frac{1}{{2}^{n-2}}$．

点评 本题考查了学生的化简运算能力及方程思想的应用，同时考查了高次方程的解法．