Question

19．若函数f（x）=-$\frac{a}{b}$lnx-$\frac{a+1}{b}$（a＞0，b＞0）的图象在x=1处的切线与圆x²+y²=1相切，则a+b的最大值是（　　）

• A． 4
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求导数，求出切线方程，利用切线与圆x²+y²=1相切，可得a²+b²=1，利用基本不等式，可求a+b的最大值．

解答 解：f（x）=-$\frac{a}{b}$lnx-$\frac{a+1}{b}$的导数为f′（x）=-$\frac{a}{b}$•$\frac{1}{x}$，
令x=1，可得切线的斜率为f′（1）=-$\frac{a}{b}$，又f（1）=-$\frac{a+1}{b}$，
则切线方程为y+$\frac{a+1}{b}$=-$\frac{a}{b}$（x-1），即ax+by+1=0，
∵切线与圆x²+y²=1相切，
∴$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=1，
∴a²+b²=1，
∵a＞0，b＞0
∴a²+b²≥2ab，
∴2（a²+b²）≥（a+b）²，
∴a+b≤$\sqrt{2（{a}^{2}+{b}^{2}）}$=$\sqrt{2}$．
∴a+b的最大值是$\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 本题考查导数的几何意义，考查直线与圆相切的条件：d=r，考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．