Question

已知函数f（x）=x²+ax+b（a、b∈R），且集合A={x|x=f（x）}，B={x|x=f[f（x）]}．
（1）求证：A⊆B；
（2）当A={-1，3}时，用列举法表示B．

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用,集合的表示法

专题：综合题,集合

分析：（1）若x∈A，则x=f（x）成立，则f[f（x）]=f（x）=x必成立，进而根据集合包含关系的定义，得到结论；
（2）由A={x|f（x）=x}={x|x²+ax+b=x}={x|x²+（a-1）x+b=0}={-1，3}，结合方程根与系数关系可求a，b，进而可求，f（x），然后代入B={x|f[f（x）]=x}整理可求．

解答： （1）证明：若x∈A，则x=f（x）成立，
则f[f（x）]=f（x）=x必成立，即x∈B，
故A⊆B；
（2）解：∵A={x|f（x）=x}={x|x²+ax+b=x}={x|x²+（a-1）x+b=0}={-1，3}
∴-1，3是方程x²+（a-1）x+b=0的根
∴

1-a=2 b=-3

，即a=-1，b=-3，
∴f（x）=x²-x-3
∴B={x|f[f（x）]=x}={x|f（x²-x-3）=x}={x|（x²-x-3）²-（x²-x-3）-3=x}
化简可得，（x²-x-3）²-x²=0
∴（x²-3）（x²-2x-3）=0
∴x=

3

或x=-

3

或x=3或x=-1
∴B={

3

，-

3

，-1，3}．

点评：本题主要考查了二次函数与二次方程之间关系的相互转化，方程的根与系数关系的应用．