Question

已知二次函数f（x）=x²+ax+b（a，b为常数）满足f（0）=f（2），方程f（x）=2x有两个相等的实数根．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）当x∈[0，4]时，求函数f（x）的值域．
（3）当m取何值时，函数g（x）=f（x）+m在[0，4]上有两个零点．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（0）=f（2），且f（x）=2x有两个相等的实数根，求出a、b的值，从而得f（x）的解析式；
（2）由（1）中函数的解析式，求出函数的单调性，进而可求出f（x）在x∈[0，4]时的最值，即得值域．
（3）由f（0）=4，可得：当-m∈（3，4]时，f（x）=-m在[0，4]上有两个根，即f（x）+m=0在[0，4]上有两个根，即函数g（x）=f（x）+m在[0，4]上有两个零点．

解答： 解：（1）∵二次函数f（x）=x²+ax+b（a，b为常数）满足f（0）=f（2），
∴二次函数f（x）=x²+ax+b的图象关于直线x=1对称，
故

-a

2

=1，解得：a=-2，
又∵方程f（x）=2x有两个相等的实数根．
即x²-4x+b=0有两个相等的实数根．
即△=16-4b=0，
解得：b=4，
∴f（x）=x²-2x+4；
（2）∵函数f（x）=x²-2x+4的图象是开口朝上，且以直线x=1为对称轴的抛物线，
故函数f（x）在[0，1]上为减函数，在[1，4]上为增函数，
故当x=1时，函数f（x）取最小值3，当x=4时，函数f（x）取最大值12，
故当x∈[0，4]时，函数f（x）的值域为[3，12]．
（3）由f（0）=4，
故当-m∈（3，4]时，f（x）=-m在[0，4]上有两个根，
即f（x）+m=0在[0，4]上有两个根，
即函数g（x）=f（x）+m在[0，4]上有两个零点．
故m的取值范围为（3，4]．

点评：本题考查了求函数的解析式以及利用函数的图象与性质求最值，从而得值域的问题，是基础题．