Question

已知函数f（x）=x³-ax²-x；
（1）若f（x）在(-

1

3

，1)上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，求实数a的值；
（2）当a=

1

2

时，求证：当x＞0时，f(x)≥x-

3

2

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）先求导函数，再根据f（x）在(-

1

3

，1)上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，可得f′（1）=0，从而可求实数a的值；
（2）当a=

1

2

时，g（x）=f（x）-x+

3

2

=x³-

1

2

x²-2x+

3

2

，证明x=1时，g（x）_min=g（1）=0，即可得出结论．

解答： （1）解：f′（x）=3x²-2ax-1，
∵f（x）在(-

1

3

，1)上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴f′（1）=0，
∴a=1；
（2）证明：当a=

1

2

时，g（x）=f（x）-x+

3

2

=x³-

1

2

x²-2x+

3

2

，
则g′（x）=3x²-x-2=（x-1）（3x+2），
∴0＜x＜1时，g′（x）＜0，x＞1时，g′（x）＞0，
∴x=1时，g（x）_min=g（1）=0，
∴当x＞0时，g（x）≥0，
∴当x＞0时，f(x)≥x-

3

2

．

点评：本题以函数为载体，考查函数的单调性，考查不等式的证明，同时考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是得出x=1时，g（x）_min=g（1）=0．