Question

3．在平面直角坐标系xOy中，圆：x²+y²=4，直线l：4x+3y-20=0．A（$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{5}$）为圆O内一点，弦MN过点A，过点O作MN的垂线交l于点P．
（1）若MN∥l．
       ①求直线MN的方程；
       ②求△PMN的面积．
（2）判断直线PM与圆O的位置关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）①求出直线MN的斜率k=k_AB=-$\frac{4}{3}$，由此能求出直线MN的方程．
②求出点O（0，0）到直线MN的距离d=1，从而MN=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，点O到直线l的距离|OP|=4，P到MN的距离h=4-1=3，由此能求出△PMN的面积S_△PMN．
（2）设M（x₀，y₀），则直线MN的斜率k=$\frac{5{y}_{0}-3}{5{x}_{0}-4}$，直线OP的斜率为-$\frac{5{x}_{0}-4}{5{y}_{0}-3}$，直线OP的方程为y=-$\frac{5{x}_{0}-4}{5{y}_{0}-3}x$，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{5{x}_{0}-4}{5{y}_{0}-3}x}\\{4x+3y-20=0}\end{array}\right.$，得点P（$\frac{4（5{y}_{0}-3）}{4{y}_{0}-3{x}_{0}}$，-$\frac{4（5{x}_{0}-4）}{4{y}_{0}-3{x}_{0}}$），求出$\overrightarrow{PM}$，$\overrightarrow{OM}$，推导出$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{OM}$=0，从而PM⊥OM，进而直线PM与圆O相切．

解答 解：（1）①∵圆：x²+y²=4，直线l：4x+3y-20=0．A（$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{5}$）为圆O内一点，
弦MN过点A，MN∥l，
∴直线MN的斜率k=k_AB=-$\frac{4}{3}$，
∴直线MN的方程为：y-$\frac{3}{5}$=-$\frac{4}{3}$（x-$\frac{4}{5}$），
整理，得：4x+3y-5=0．
②点O（0，0）到直线MN的距离d=$\frac{|0+0-5|}{\sqrt{16+9}}$=1，
MN=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{4-1}$=2$\sqrt{3}$，
点O到直线l的距离|OP|=$\frac{|0+0-20|}{\sqrt{16+9}}$=4，
∴P到MN的距离h=4-1=3，
∴△PMN的面积S_△PMN=$\frac{1}{2}×MN×h$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×3$=3$\sqrt{3}$．
（2）直线PM与圆O相切，证明如下：
设M（x₀，y₀），则直线MN的斜率k=$\frac{{y}_{0}-\frac{3}{5}}{{x}_{0}-\frac{4}{5}}$=$\frac{5{y}_{0}-3}{5{x}_{0}-4}$，
∵OP⊥MN，∴直线OP的斜率为-$\frac{5{x}_{0}-4}{5{y}_{0}-3}$，
∴直线OP的方程为y=-$\frac{5{x}_{0}-4}{5{y}_{0}-3}x$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{5{x}_{0}-4}{5{y}_{0}-3}x}\\{4x+3y-20=0}\end{array}\right.$，解得点P的坐标为（$\frac{4（5{y}_{0}-3）}{4{y}_{0}-3{x}_{0}}$，-$\frac{4（5{x}_{0}-4）}{4{y}_{0}-3{x}_{0}}$），
∴$\overrightarrow{PM}$=（$\frac{4（5{y}_{0}-3）}{4{y}_{0}-3{x}_{0}}-{x}_{0}$，-$\frac{4（5{x}_{0}-4）}{4{y}_{0}-3{x}_{0}}-{y}_{0}$），
∵$\overrightarrow{OM}$=（x₀，y₀），${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=4$，
∴$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{OM}$=$\frac{4{x}_{0}（5{y}_{0}-3）}{4{y}_{0}-3{x}_{0}}-{{x}_{0}}^{2}-\frac{4{y}_{0}（5{x}_{0}-4）}{4{y}_{0}-3{x}_{0}}-{{y}_{0}}^{2}$
=$\frac{4{x}_{0}（5{y}_{0}-3）-4{y}_{0}（5{x}_{0}-4）}{4{y}_{0}-3{x}_{0}}$-4
=$\frac{-12{x}_{0}+16{y}_{0}}{4{y}_{0}-3{x}_{0}}-4$=0，
∴$\overrightarrow{PM}$⊥$\overrightarrow{OM}$，∴PM⊥OM．
∴直线PM与圆O相切．

点评 本题考查直线方程的求法，考查三角形面积的求法，考查直线与圆的位置关系的判断与证明，考查圆、直线方程、点到直线距离公式、向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．