Question

13．已知以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=10，曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α为参数）．
（1）求曲线C₁的普通方程；
（2）若点M在曲线C₁上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）由cos²α+sin²α=1，能求出曲线C₁的普通方程．
（2）求出曲线C的直角坐标方程为：x+2y-10=0，则M（3cosα，2sinα）到直线C的距离为d=$\frac{|5sin（α+β）-10|}{\sqrt{5}}$，由此能求出求出M到曲线C的距离的最小值．

解答 （本小题满分10分）
解：（1）将 曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α为参数） 代入cos²α+sin²α=1中，
得曲线C₁的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{x}^{2}}{4}=1$．…（4分）
（2）∵曲线C的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=10，
∴曲线C的直角坐标方程为：x+2y-10=0，
则M（3cosα，2sinα）到直线C的距离为：
d=$\frac{|3cosα+4sinα-10|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|5sin（α+β）-10|}{\sqrt{5}}$，
∴当$α+β=\frac{π}{2}+2kπ$（k∈Z）时，${d}_{min}=\frac{|5-10|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$，
此时M（$\frac{9}{5}，\frac{8}{5}$）．…（10分）

点评 本题考查曲线的普通方程的求法，考查点到直线的距离的最小值的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．