Question

13．写出下列函数的值域：
（1）y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-4x+7）：（-∞，-1]；
（2）y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{{x}^{2}-2x+5}$：[2，+∞）；
（3）y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\sqrt{3-2x-{x}^{2}}$：[-1，+∞）．

Answer 1

分析 利用换元法结合对数函数的单调性进行求解即可．

解答 解：（1）设t=x²-4x+7，则t=x²-4x+7=（x-2）²+3≥3，
∴y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-4x+7）≤log${\;}_{\frac{1}{3}}$3=-1：
即函数的值域为（-∞，-1]．
（2）$\frac{1}{{x}^{2}-2x+5}$=$\frac{1}{（x-1）^{2}+4}$∈（0，$\frac{1}{4}$]，
则y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{{x}^{2}-2x+5}$≥log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{4}$=2，
即函数的值域为[2，+∞）．
（3）由3-2x-x²＞0得$\sqrt{3-2x-{x}^{2}}$=$\sqrt{-（x+1）^{2}+4}$∈（0，2]，
则y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\sqrt{3-2x-{x}^{2}}$≥y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$2=-1，
即函数的值域为[-1，+∞）．
故答案为：（-∞，-1]，[2，+∞），[-1，+∞）．

点评 本题主要考查函数值域的求解，利用换元法结合对数函数的单调性是解决本题的关键．