Question

12．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，若点F₂关于一条渐近线的对称点为M，则|F₁M|=4．

Answer 1

分析 取双曲线的渐近线y=$\frac{3}{2}$x，利用点F₂关于一条渐近线的对称点为M，求出M的坐标，利用两点间的距离公式求出|MF₁|．

解答 解：取双曲线的渐近线y=$\frac{3}{2}$x，设点F₂（$\sqrt{13}$，0）关于此直线的对称点M的坐标为（m，n），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{m-\sqrt{13}}•\frac{3}{2}=-1}\\{\frac{n}{2}=\frac{3}{2}•\frac{m+\sqrt{13}}{2}}\end{array}\right.$，解得m=$\frac{8}{\sqrt{13}}-\sqrt{13}$=-$\frac{5\sqrt{13}}{13}$，n=$\frac{12}{\sqrt{13}}$=$\frac{12\sqrt{13}}{13}$．即M（-$\frac{5\sqrt{13}}{13}$，$\frac{12\sqrt{13}}{13}$）．
∴|MF₁|=$\sqrt{（-\frac{5\sqrt{13}}{13}+\sqrt{13}）^{2}+（\frac{12\sqrt{13}}{13}）^{2}}$=4．
故答案为：4．

点评 本题综合考查了双曲线的性质、两点间的距离公式、轴对称的性质等基础知识与基本方法，属于中档题．