Question

已知函数f（x）满足：①?s，t∈R有f（s+t）=f（s）+f（t）+st；②f（3）=6；③?x＞0，有f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）证明；函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（3）求满足f（2^x）+f（2^x+1）＜4的x的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由条件可令s=t=1，再令s=1，t=2，由f（3）=6即可得到f（1）=1；
（2）令0＜m＜n，则n-m＞0，?x＞0，有f（x）＞0，则有f（n-m）＞0，即有f（n）=f（n-m+m），再由条件和函数的单调性的定义，即可得证；
（3）令2^x=a＞0，则不等式f（2^x）+f（2^x+1）＜4即为f（a）+f（2a）＜4，即有f（3a）-2a²＜4，由于当a=1时，f（3）=2+4=6，再由（2）即可得到解集．

解答： （1）解：由于?s，t∈R有f（s+t）=f（s）+f（t）+st，
则f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）+1=2f（1）+1，
f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）+2=3f（1）+3，
由于f（3）=6，则f（1）=1；
（2）证明：令0＜m＜n，则n-m＞0，
?x＞0，有f（x）＞0，则有f（n-m）＞0，
即有f（n）=f（n-m+m）=f（n-m）+f（m）+（n-m）m＞f（m），
则有函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（3）解：令2^x=a＞0，
则不等式f（2^x）+f（2^x+1）＜4即为f（a）+f（2a）＜4，
即有f（3a）-2a²＜4，由于当a=1时，f（3）=2+4=6，
且f（x）在（0，+∞）上单调递增，
则有3a＜3，即有a＜1，则x＜0，
故解集为：（-∞，0）．

点评：本题主要考查抽象函数的应用，函数的单调性的应用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，考查运算能力，属于中档题．