Question

某制药厂准备投入适当的广告费，对产品进行宣传，在一年内，预计年销量Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为Q=

3x+1

x+1

（x≥0）．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需后期再投入32万元，若每件售价为“年平均每件投入的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和（注：投入包括“年固定投入”与“后期再投入”）．
（1）试将年利润W万元表示为年广告费x万元的函数，并判断当年广告费投入100万元时，企业亏损还是盈利？
（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？

Answer 1

考点：函数最值的应用

专题：计算题,应用题,函数的性质及应用

分析：（1）由由题意，每件售价为

3+32Q

Q

×150%+

x

Q

×50%=

9+96Q+x

2Q

元，从而写出w=

-x2+98x+35

2(x+1)

，代入求x=100时的正负即可；
（2）化简w=

-x2+98x+35

2(x+1)

=-

1

2

（（x+1）+

64

x+1

）+50，利用基本不等式求解．

解答： 解：（1）由题意，
每件售价为

3+32Q

Q

×150%+

x

Q

×50%=

9+96Q+x

2Q

，
则w=

9+96Q+x

2Q

•Q-x-3-32Q=

9+96Q+x-2x-6-64Q

2

=

-x2+98x+35

2(x+1)

，
则当x=100时，
w=

-10000+9800+35

2×101

＜0，
故企业亏损．
（2）w=

-x2+98x+35

2(x+1)

=-

1

2

（（x+1）+

64

x+1

）+50
≤50-8=42（当且仅当x=7时，等号成立）．
故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大．

点评：本题考查了学生将实际问题化为数学问题的能力，同时考查了学生化简能力及基本不等式求最值问题，属于中档题．