Question

若以F为右焦点的双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左支上存在一点P，使得线段PF被y=

b

a

x垂直平分，则双曲线的离心率是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设F（c，0），P（m，n），运用点关于直线对称的特点，由中点坐标公式和垂直的条件解得m，n，代入双曲线方程，化简整理，结合离心率公式计算即可得到．

解答： 解：设F（c，0），P（m，n），
则

n-0

m-c

=-

a

b

，且

1

2

n=

1

2

•

b

a

（c+m），
解得m=

a2-b2

c

，n=

2ab

c

．
将P（

a2-b2

c

，

2ab

c

）代入双曲线方程，

(a2-b2)2

c2a2

-

4a2

c2

=1，b²=c²-a²．
化简整理可得，c²=5a²，
e=

c

a

=

5

．
故答案为：

5

．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查点关于直线对称的性质，考查运算能力，属于中档题．