Question

已知函数f（x）=x³-6x²+9x．
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若a≤2，当x∈[a，a+1]时，求f（x）的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）由题意求导f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），从而确定函数的单调区间与极值；
（2）讨论a的取值以确定函数在区间[a，a+1]上的单调性，从而求f（x）的最大值．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），
故当x＜1或x＞3时，f′（x）＞0；
当1＜x＜3时，f′（x）＜0；
故f（x）的单调增区间为（-∞，1），（3，+∞）；
单调减区间为（1，3）；
当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=4；
当x=3时，f（x）取得极大值f（3）=0；
（2）当a+1＜1，即a＜0时，f（x）在[a，a+1]上单调递增，
所以f_max（x）=f（a+1）=a³-3a²+4；
当a＜1≤a+1，即0≤a＜1时，f（x）在[a，a+1]上先增后减，
所以f_max（x）=f（1）=4；
当1≤a≤2时，f（x）在[a，a+1]上单调递减，
所以f_max（x）=f（a）=a³-6a²+9a；
综上所述，f_max（x）=

a3-3a2+4，a＜0 4，0≤a＜1 a3-6a2+9a，1≤a≤2

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点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，属于中档题．