Question

在数列{a_n}，{b_n}中，a₁=3，b₁=5，a_n+1=

bn+4

2

，b_n+1=

an+4

2

（n∈N^*）
（1）求数列{b_n-a_n}、{a_n+b_n}的通项公式．
（2）设S_n为数列{b_n}的前n项的和，若对任意n∈N^*，都有p（S_n-4n）∈（[1，3]，求实数p的取值范围．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）将已知的两个关系式相加和相减，即可得到{a_n+b_n}与{b_n-a_n}的递推式，从而求其通项；
（2）根据第一问的结果可求出{b_n}的通项，然后求和，然后利用不等式恒成立的思路求解．

解答： 解：（1）由a_n+1=

bn+4

2

，b_n+1=

an+4

2

两式相减得：b_n+1-a_n+1=

an+4

2

-

bn+4

2

=-

1

2

（b_n-a_n），
则{b_n-a_n}是以-

1

2

为公比，b₁-a₁=5-3=2为首项的等比数列，
则b_n-a_n=2×（-

1

2

）^n-1，
由a_n+1=

bn+4

2

，b_n+1=

an+4

2

两式相加得：
an+1+bn+1=

1

2

(an+bn)+4，即a_n+1+b_n+1-8=

1

2

（a_n+b_n-8），
∵a₁+b₁-8=3+5-8=0，
∴a₂+b₂-8=

1

2

（a₁+b₁-8）=0，
则a_n+1+b_n+1-8=

1

2

（a_n+b_n-8）=0，
即a_n+b_n=8，即数列{a_n+b_n}常数列，通项公式为a_n+b_n=8．
（2）∵b_n-a_n=2×（-

1

2

）^n-1，a_n+b_n=8，
∴解得b_n=（-

1

2

）^n-1+4，
则S_n=

1-(- 1 2 )n

1+ 1 2

+4n=

2

3

-

2

3

（-

1

2

）ⁿ+4n，
则S_n-4n=

2

3

-

2

3

（-

1

2

）ⁿ，
∵（-

1

2

）ⁿ∈[-0.5，0.25]，
∴S_n-4n=

2

3

-

2

3

（-

1

2

）ⁿ∈[0.5，1]，
∴p∈（[2，3]．

点评：本题主要考查数列通项公式的求解以及数列求和的应用，综合性较强，运算量较大．