Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=

1

4

（a_n-1）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式
（Ⅱ）设bn=

1

1-a2n

-

1

1-a2n-1

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：

3

8

≤T_n＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题,证明题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）当n=1时，求得a₁=-

1

3

，当n＞1时，运用a_n=S_n-S_n-1，整理可得{a_n}为首项是-

1

3

，公比为-

1

3

的等比数列，由等比数列的通项公式即可得到；
（Ⅱ）求出数列{b_n}的通项，得到b_n＞0，b₁=

3

8

，即可证得不等式的左边，对通项整理变形，可得b_n＜

32n+32n-1

34n-1

=3^-2n+3^-2n+1，再由等比数列的求和公式，即可证得不等式的右边．

解答： （Ⅰ）解：当n=1时，a₁=s₁=

1

4

（a₁-1），
解得，a₁=-

1

3

，
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=

1

4

（a_n-1）-

1

4

（a_n-1-1）
即有a_n=-

1

3

a_n-1，
则数列{a_n}为首项是-

1

3

，公比为-

1

3

的等比数列，
即有a_n=a₁q^n-1=（-

1

3

）•（-

1

3

）^n-1=（-

1

3

）ⁿ；
（Ⅱ）证明：b_n=

1

1-a2n

-

1

1-a2n-1

=

a2n-a2n-1

(1-a2n)(1-a2n-1)

=

( 1 3 )2n+( 1 3 )2n-1

(1-( 1 3 )2n)(1+( 1 3 )2n-1)

=

32n+32n-1

(32n-1)(32n-1+1)

由于3²ⁿ-1＞0，则b_n＞0，b₁=

3+9

8×4

=

3

8

，
T_n=b₁+b₂+…+b_n≥b₁=

3

8

；
b_n=

32n+32n-1

(32n-1)(32n-1+1)

=

32n+32n-1

34n-1+32n-32n-1-1

＜

32n+32n-1

34n-1

=3^-2n+3^-2n+1，
又T_n=b₁+b₂+…+b_n＜3^-2+3^-1+3^-4+3^-3+…+3^-2n+3^-2n+1
=（3^-2+3^-4+…+3^-2n）+（3^-1+3^-3+…+3^-2n+1）
=

3-2(1-3-2n)

1-3-2

+

3-1(1-3-2n)

1-3-2

=

1-3-2n

8

+

3

8

（1-3^-2n）=

1

2

-

1

2

×3^-2n＜

1

2

．
则原不等式成立．

点评：本题考查数列的通项和前n项和的关系，考查等比数列的通项和求和公式，考查放缩法证明数列不等式，考查推理能力，属于中档题．