Question

20．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=10，S₅≥S₆，下列四个命题中，假命题是（　　）

• A． 公差d的最大值为-2
• B． S₇＜0
• C． 记S_n的最大值为K，K的最大值为30
• D． a₂₀₁₆＞a₂₀₁₇

Answer 1

分析 由已知中等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=10，S₅≥S₆，可以求出d≤-2，根据数列的通项公式可以得到n=5时，当n=6时，有最大值30，且该数列递减数列，根据前n项和求出S₇≤28．

解答 解：设公差为d，由a₁=10，S₅≥S₆，
∴5×10+10d≥6×10+15d，
解得d≤-2，
∴S₇=7×10+21d≤70-2×21=28，
∵a_n=a₁+（n-1）d=10+（n-1）d≥0，解得n≤-$\frac{10}{d}$+1，
a_n+1=a₁+nd=10+nd≤0，解得n≥-$\frac{10}{d}$，
∴-$\frac{10}{d}$≤n≤-$\frac{10}{d}$+1，
当d=-2时，
∴5≤n≤6，
当n=5时，有最大值，此时k=5×10+10×（-2）=30，
当n=6时，有最大值，此时k=6×10+15×（-2）=30，
∵该数列为递减数列，
∴a₂₀₁₆＞a₂₀₁₇
故选：B

点评 本题考查的知识点是等差数列的性质，其中根据已知条件，利用参数表达式范围确定的方法，求出最大值，是解答本题的关键，也是一个难点．