Question

1．已知函数f（x）=1+lnx-ae^x
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行，求实数a的值；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据导数和几何意义即可求出，
（Ⅱ）分离参数，构造函数，利用导数，求出函数的最值，即可求出参数的取值范围

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=1+lnx-ae^x，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-ae^x，x∈（0，+∞）．
由于曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行，
∴f′（1）=1-ae=0，
解得$a=\frac{1}{e}$，
（Ⅱ）由条件知对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≤0恒成立，
此命题等价于a≥$\frac{1+lnx}{{e}^{x}}$对任意x∈（0，+∞）恒成立
令$h（x）=\frac{1+lnx}{e^x}$，x∈（0，+∞）．
∴${h^'}（x）=\frac{{\frac{1}{x}-1-lnx}}{e^x}$=$\frac{1}{{e}^{x}}$（$\frac{1}{x}$-1-lnx），x∈（0，+∞）．
令g（x）=（$\frac{1}{x}$-1-lnx），x∈（0，+∞）．
则g′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$＜0．
∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递减．
注意到g（1）=0，即x=1是g（x）的零点，
而当x∈（0，1）时，g（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0．
又e^x＞0，所以当∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0．
则当x变化时，h′（x）的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
h′（x）	+	0	-
h（x）	↗	极大值$\frac{1}{e}$	↘

因此，函数h（x）在x∈（0，+∞），取得最大值$h（1）=\frac{1}{e}$，所以实数a≥$\frac{1}{e}$．

点评 本题考查利用函数的最值求参数问题，解题时要认真审题，仔细解答，考查了等价转化思想及导数性质的合理运用，属于难题