Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）在区间[-2，2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合A={x|f（x）=x}．
（1）若A={1，2}，且f（0）=2，求M和m的值；
（2）若A={1}，且a≥1，记g（a）=M+m，求g（a）的最小值．
（3）若集合B={x|f〔f（x）〕=x}，且A=∅，求证：B=∅．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（0）=2得到c的值，集合A的方程可变为f（x）-x=0，因为A={1，2}，得到1，2是方程的解，根据韦达定理即可求出a和b，把a、b、c代入得到f（x）的解析式，在[-2，2]上根据函数的图象可知m和M的值．
（2）由集合A={1}，得到方程f（x）-x=0有两个相等的解都为1，根据韦达定理求出a，b，c的关系式，根据a大于等于1，利用二次函数求最值的方法求出在[-2，2]上的m和M，代入g（a）=m+M中得到新的解析式g（a）=9a-

1

4a

-1，根据g（a）的在[1，+∞）上单调增，求出g（a）的最小值为g（1），求出值即可．
（3）A=∅，说明f（x）=x无解，由“不动点”和“稳定点”的定义证明f[f（x）]=x无解即可得出B=∅．

解答： 解：（1）由f（0）=2可知c=2，
∵A={1，2}，
∴1，2是方程ax²+（b-1）x+c=0的两实根，
∴

1+2= 1-b a 2= c a

，解得a=1，b=-2，
∴f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
因为x∈[-2，2]，根据函数图象可知，
当x=1时，f（x）_min=f（1）=1，即m=1，
当x=-2时，f（x）_max=f（-2）=10，即M=10，
∴M=10，m=1．
（2）由题意知，方程ax²+（b-1）x+c=0有两相等实根x₁=x₂=1，
根据韦达定理得到：

1+1= 1-b a 1= c a

，即

b=1-2a c=a

，
∴f（x）=ax²+bx+c=ax²+（1-2a）x+a，x∈[-2，2]其对称轴方程为x=

2a-1

2a

=1-

1

2a

又a≥1，故1-

1

2a

∈[

1

2

，1）
∴M=f（-2）=9a-2
m=f（

2a-1

2a

）=1-

1

4a

则g（a）=M+m=9a-

1

4a

-1
又g（a）在区间[1，+∞）上为单调递增的，∴当a=1时，g（a）_min=

31

4

．
（3）若B≠∅．
则f[f（x）]=x有解，
即f（x）=x有解，
这与A=∅矛盾，
故B=∅．

点评：本题主要查了学生灵活运用韦达定理解决实际问题，掌握利用数形结合法解决数学问题，会求一个闭区间上二次函数的最值．属于中档题．