Question

6．已知函数f（x）=x²+（1-a）x+（1-a）．a∈R．
（1）当a=4时，解不等式f（x）≥7；
（2）若对P任意的x∈（-1，+∞），函数f（x）的图象恒在x轴上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=4时，转化为x²-3x-10≥0解不等式；
（2）函数f（x）的图象恒在x轴上方转化为f（x）≥0（x＞-1）恒成立，x^2₊x+1≥_^a（x+1）
在（-1，+∞）恒成立，再分离参数∴a≤$\frac{{x}^{2}+x+1}{x+1}$，求解．

解答 解：当a=4是，f（x）=x²-3x-3≥7⇒x²-3x-10≥0
∴x≥5或  x≤-2．
故不等式解集为{x|x≥5或  x≤-2}．
（2）∵x∈（-1，+∞）时，函数f（x）的图象恒在x轴上方，
∴f（x）=x^2_+（1-a）x+（1-a）≥0
⇒x^2₊x+1≥_^a（x+1）
∵x＞-1∴x+1＞0
∴a≤$\frac{{x}^{2}+x+1}{x+1}$
∵$\frac{{x}^{2}+x+1}{x}=x+\frac{1}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1}-1$≥$2\sqrt{（x+1）\frac{1}{x+1}}=1$
当且仅当x+1=$\frac{1}{x+1}$，即x=0时取等号．
∴a≤1．

点评 本题考查了解一元二次不等式，恒成立问题的转化思想，属于中档题．