Question

18．已知函数f（x）=$\frac{x+3}{x-a+2}$．
（Ⅰ）当a=1时，用定义证明f（x）在（-∞，-1）上单调递减；
（Ⅱ）若f（x）在（-1，+∞）上单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=1时，分离常数得到$f（x）=1+\frac{2}{x+1}$，根据减函数的定义，设任意的x₁＜x₂＜-1，然后作差，通分，证明f（x₁）＞f（x₂），这样即可得出f（x）在（-∞，-1）上单调递减；
（Ⅱ）分离常数得出$f（x）=1+\frac{a+1}{x-a+2}$，由于f（x）在（-1，+∞）上单调递减，这样根据反比例函数的单调性即可得出$\left\{\begin{array}{l}{a+1＞0}\\{a-2≤-1}\end{array}\right.$，从而得出a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）证明：a=1时，$f（x）=\frac{x+3}{x+1}=1+\frac{2}{x+1}$；
设x₁＜x₂＜-1，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2}{{x}_{1}+1}-\frac{2}{{x}_{2}+1}$=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$；
∵x₁＜x₂＜-1；
∴x₂-x₁＞0，x₁+1＜0，x₂+1＜0；
∴$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，-1）上单调递减；
（Ⅱ）$f（x）=\frac{x+3}{x-a+2}=\frac{x-a+2+a+1}{x-a+2}=1+\frac{a+1}{x-a+2}$；
∵f（x）在（-1，+∞）上单调递减；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+1＞0}\\{a-2≤-1}\end{array}\right.$；
∴-1＜a≤1；
∴a的取值范围为（-1，1]．

点评 考查分离常数法的运用，减函数的定义，根据减函数定义证明一个函数为减函数的方法和过程，以及反比例函数的单调性．