Question

16．根据下列算法语句，将输出的A值依次记为a₁，a₂，…，a_n，…，a₂₀₁₅；已知函数f（x）=a₂sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期是a₁，且函数y=f（x）的图象关于直线x=$\frac{1}{6}$对称．
（Ⅰ）求函数y=f（x）表达式；
（Ⅱ）已知△ABC中三边a，b，c对应角A，B，C，a=4，b=4$\sqrt{3}$，∠A=30°，求f（B）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知算法语句可知所求为2015个奇数的和；根据a₁=1，a₂=4，得到函数的周期，由对称轴x=$\frac{1}{6}$，结合|φ|＜$\frac{π}{2}$得到φ，从而求出三角函数解析式；
（Ⅱ）由正弦定理计算B，即可求f（B）．

解答 解：（Ⅰ）由已知，当n≥2时，a_n=1+3+5+…+（2n-1）=n²
而a₁=1也符合a_n=n²，知a₁=1，a₂=4，所以函数y=f（x）的最小正周期为1，所以ω=2π，
则f（x）=4sin（2πx+φ），
又函数y=f（x）的图象关于直线x=$\frac{1}{6}$对称
所以$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），因为|φ|＜$\frac{π}{2}$，所以φ=$\frac{π}{6}$，则f（x）=4sin（2πx+$\frac{π}{6}$）（6分）
（Ⅱ）由正弦定理计算$\frac{4}{\frac{1}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{sinB}$，∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴B为$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，
可得f（B）=4sin（$\frac{2{π}^{2}}{3}$+$\frac{π}{6}$）或4sin（$\frac{4{π}^{2}}{3}$+$\frac{π}{6}$）  （12分）

点评 本题考查了算法语句的认识以及三角函数的性质运用，属于中档题．