设Sn是数列{an}的前n项和.${a 1}=1.S n^2={a n}$(1)求证数列$\left\{{\frac{1}{S n}}\right\}$是等差数列.并求Sn．(2)设bn=$\frac{S n}{2n+3}.{T n}={b 1}+{b 2}+{b 3}+-+{b n}$.求Tn．(3)若对任意正整数n不等式(4n2-4n+10)Sn＞(-1)n•a恒成� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．设S_n是数列{a_n}的前n项和，${a_1}=1，S_n^2={a_n}（{S_n}-\frac{1}{2}）（n≥2）$
（1）求证数列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$是等差数列，并求S_n．
（2）设b_n=$\frac{S_n}{2n+3}，{T_n}={b_1}+{b_2}+{b_3}+…+{b_n}$，求T_n．
（3）若对任意正整数n不等式（4n²-4n+10）S_n＞（-1）ⁿ•a恒成立，求实数a的取值范围．

分析（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，推导出${S_n}{S_{n-1}}=\frac{1}{2}{S_n}-\frac{1}{2}{S_{n-1}}$，从而$\frac{1}{S_n}-\frac{1}{{{S_{n-1}}}}=2$，由此能证明$\{\frac{1}{S_n}\}$是等差数列，从而能求出S_n．
（2）由${b_n}=\frac{1}{（2n-1）（2n+3）}=\frac{1}{4}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+3}）$，利用裂项求和法能求出T_n．
（3）由$（4{n^2}-4n+10）•{S_n}=\frac{{4{n^2}-4n+10}}{2n-1}=\frac{{{{（2n-1）}^2}+9}}{2n-1}$=$2n-1+\frac{9}{2n-1}$，分n为奇数和n为偶数两种情况进行讨论，能求出实数a的取值范围．

解答证明：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，
由已知有${S_n}^2=（{S_n}-{S_{n-1}}）（{S_n}-\frac{1}{2}）$，
即${S_n}{S_{n-1}}=\frac{1}{2}{S_n}-\frac{1}{2}{S_{n-1}}$，
∴$\frac{1}{S_n}-\frac{1}{{{S_{n-1}}}}=2$，…（3分）
∵$\frac{1}{{S}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，∴$\{\frac{1}{S_n}\}$是首项为1，公差为2的等差数列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}=1+（n-1）×2$=2n-1，
∴${S_n}=\frac{1}{2n-1}$…（4分）
解：（2）∵${b_n}=\frac{1}{（2n-1）（2n+3）}=\frac{1}{4}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+3}）$，
∴${T_n}=\frac{1}{4}（1-\frac{1}{5}+\frac{1}{3}-\frac{1}{7}+\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+…+\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+3}）$
=$\frac{1}{4}（\frac{4}{3}-\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$
=$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}（\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}）$．…（8分）
（3）∵$（4{n^2}-4n+10）•{S_n}=\frac{{4{n^2}-4n+10}}{2n-1}=\frac{{{{（2n-1）}^2}+9}}{2n-1}$=$2n-1+\frac{9}{2n-1}$，
∴当n为奇数时 $-a＜2n-1+\frac{9}{2n-1}$
令t=2n-1，则 $y=t+\frac{9}{t}$，∴t=5，即n=3时，$-a＜\frac{34}{5}$，即$a＞-\frac{34}{5}$，
当n为偶数时，$a＜2n-1+\frac{9}{2n-1}$，
又$2n-1+\frac{9}{2n-1}≥2\sqrt{9}=6$，
当n=2时取“=”，∴a＜6，
综上讨论得$-\frac{34}{5}＜a＜6$．…（12分）