Question

11．在直角坐标系xOy中，已知曲线${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x\;=cosα\\ y=si{n^2}α\end{array}\right.$（α为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线${C_2}：ρcos（θ-\frac{π}{4}）=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，曲线C₃：ρ=2sinθ．
（l）求曲线C₁与C₂的交点M的直角坐标；
（2）设点A，B分别为曲线C₂，C₃上的动点，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （l）求出曲线C₁的普通方程和曲线C₂的直角坐标方程，联立方程组能求出曲线C₁与C₂的交点M的直角坐标．
（2）曲线C₃是以C（0，1）为圆心，半径r=1的圆，求出圆心C，点B到直线x+y+1=0的距离d，d'，由此能求出|AB|的最小值．

解答 解：（l）曲线${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x\;=cosα\\ y=si{n^2}α\end{array}\right.$，消去参数α，
得：y+x²=1，x∈[-1，1]，①
∵曲线${C_2}：ρcos（θ-\frac{π}{4}）=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴ρcosθ+ρsinθ+1=0，
∴曲线C₂：x+y+1=0，②，
联立①②，消去y可得：x²-x-2=0，解得x=-1或x=2（舍去），
∴M（-1，0）．…（5分）
（2）曲线C₃：ρ=2sinθ，即ρ²=2ρsinθ，
∴曲线C₃：x²+（y-1）²=1，是以C（0，1）为圆心，半径r=1的圆
设圆心C，点B到直线x+y+1=0的距离分别为d，d'，
则：$d=\frac{{|{0+1+1}|}}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，
$|{AB}|≥d'≥d-r=\sqrt{2}-1$，
∴|AB|的最小值为$\sqrt{2}-1$．…（10分）

点评 本题考查曲线的交点的直角坐标的求法，考查线段的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．