Question

3．已知$\frac{sinα}{sinα-cosα}=-1$
（1）求tanα的值；
（2）求$\frac{{{{sin}^2}α+2sinαcosα}}{{3{{sin}^2}α+{{cos}^2}α}}$的值．

Answer 1

分析 （1）直接弦化切，即可求tanα的值；
（2）法一：求出sinα，cosα，分类讨论求$\frac{{{{sin}^2}α+2sinαcosα}}{{3{{sin}^2}α+{{cos}^2}α}}$的值．法二：原式分子分母同除以cos²α，弦化切，即可求$\frac{{{{sin}^2}α+2sinαcosα}}{{3{{sin}^2}α+{{cos}^2}α}}$的值．

解答 解：（1）∵$\frac{tanα}{tanα-1}=-1$，
∴tanα=-tanα+1$⇒tanα=\frac{1}{2}$
（2）法一：由（1）知：$tanα=\frac{1}{2}$，∴$\left\{\begin{array}{l}sinα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}\\ cosα=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}sinα=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}\\ cosα=-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}\end{array}\right.$
当$sinα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，$cosα=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$时，原式=$\frac{{{{（\frac{{\sqrt{5}}}{5}）}^2}+2×\frac{{\sqrt{5}}}{5}×\frac{{2\sqrt{5}}}{5}}}{{3{{（\frac{{\sqrt{5}}}{5}）}^2}+{{（\frac{{2\sqrt{5}}}{5}）}^2}}}=\frac{5}{7}$
当$sinα=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，$cosα=-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$时，
原式=$\frac{{{{（-\frac{{\sqrt{5}}}{5}）}^2}+2×（-\frac{{\sqrt{5}}}{5}）×（-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}）}}{{3{{（-\frac{{\sqrt{5}}}{5}）}^2}+{{（-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}）}^2}}}=\frac{5}{7}$
综上：原式=$\frac{5}{7}$
法二：原式分子分母同除以cos²α得：
原式=$\frac{{\frac{{{{sin}^2}α}}{{{{cos}^2}α}}+\frac{2sinα•cosα}{{{{cos}^2}α}}}}{{\frac{{3{{sin}^2}α}}{{{{cos}^2}α}}+1}}=\frac{{{{（\frac{sinα}{cosα}）}^2}+2•（\frac{sinα}{cosα}）}}{{3•{{（\frac{sinα}{cosα}）}^2}+1}}=\frac{{{{tan}^2}α+2tanα}}{{3{{tan}^2}α+1}}$
=$\frac{{{{（\frac{1}{2}）}^2}+2×\frac{1}{2}}}{{3×{{（\frac{1}{2}）}^2}+1}}=\frac{5}{7}$

点评 本题考查同角三角函数关系，考查学生的转化能力，属于中档题．