题目内容
已知f（x）=2
cos2x+2sin（π-x）cos（-x）+a-
（x∈R，a∈R，a为常数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）先将函数y=f（x）的图象向右平移
个单位，然后将得到函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y=g（x）的图象，若当x∈[
，
]，g（x）的最小值为2，求a的值及函数y=g（x）的解析式．
| 3 |
| 3 |
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）先将函数y=f（x）的图象向右平移
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法
专题：综合题,三角函数的图像与性质
分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换可求得f（x）=2sin（2x+
）+a，于是可得函数f（x）的最小正周期为π，利用正弦函数的单调性可求得函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求得y=g（x）的解析式为：g（x）=2sinx+a，当x∈[
，
]时，可求得g（x）∈[a+1，a+
]，依题意可得a的值及函数y=g（x）的解析式．
| π |
| 3 |
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求得y=g（x）的解析式为：g（x）=2sinx+a，当x∈[
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 3 |
解答：
解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+
cos2x+a=2sin（2x+
）+a…4分
函数f（x）的最小正周期为T=
=π，…5分
令2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
（k∈Z），…6分
解得kπ-
≤x≤kπ+
（k∈Z），…7分
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-
，kπ+
]，k∈Z…8分
（Ⅱ）将函数y=f（x）=2sin（2x+
）+a的图象向右平移
个单位，
然后将得到函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，
得到y=g（x）的解析式为：g（x）=2sinx+a，…10分
当x∈[
，
]时，g（x）∈[a+1，a+
]，…11分
∵g（x）min=2，
∴a+1=2，a=1，…12分
∴g（x）=2sinx+1…13分
| 3 |
| π |
| 3 |
函数f（x）的最小正周期为T=
| 2π |
| 2 |
令2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
解得kπ-
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
（Ⅱ）将函数y=f（x）=2sin（2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
然后将得到函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，
得到y=g（x）的解析式为：g（x）=2sinx+a，…10分
当x∈[
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 3 |
∵g（x）min=2，
∴a+1=2，a=1，…12分
∴g（x）=2sinx+1…13分
点评：本题考查三角恒等变换的应用，着重考查正弦函数的周期性与单调性的综合应用，突出考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查综合分析与运算能力，属于中档题．
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