Question

若椭圆mx²+ny²=1（m＞0，n＞0）与直线x+y-1=0交于A，B两点，若m：n=1：

2

，则过原点与线段AB的中点M的连线的斜率为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程，作差运用平方差公式和中点坐标公式，化简整理，即可得到直线OM的斜率．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则mx₁²+ny₁²=1，mx₂²+ny₂²=1，
两式相减可得，m（x₁-x₂）（x₁+x₂）+n（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
由于线段AB的中点为M（x₀，y₀），
则x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，
则有k_AB=

y1-y2

x1-x2

=-

mx0

ny0

=-1，
则k_OM=

y0

x0

=

m

n

=

2

2

．
故答案为：

2

2

．

点评：本题考查椭圆的方程的运用，考查直线的斜率公式，点差法求中点弦问题，考查运算能力，属于中档题．